教學設計：梁麗慶

　　【版本信息】

　　本專題適合經過一輪復習知識點過關後的高考二輪復習使用，采用版本爲人民教育出版社A版。

　　【教學設計】

　　圖1教學搆思

　　一、專題確立背景

　　立體幾何作爲高考解答題前三大題之一，是鎮屬中學學生的目標拿分題。經過一輪復習，學生處理給定幾何體的證明或計算都比較熟練，但是一旦涉及有待定未知量的幾何體就束手無策。另一方面，2012年廣東高考題也出現此類題目的考查，充分體現高考命題的多樣性和靈活性。針對學生這種情况，確立了本專題。

　　二、教學目標（運用思維工具有：AGO、APC、FIP）

　　1．整體目標：

　　根據學生現有的能力，教者計劃把本節課設計成逐步提昇的探究課型。

　　2．具體教學目標

　　（1）熟練地在給定幾何體中證明平行或垂直與計算

　　（2）在有待定未知量的幾何體中證明平行或垂直與計算

　　（3）通過比較，找到後者解决問題的突破點、體會轉化的數學思想

　　 三、教學步驟

　　（一）課前預習：

　　1．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD爲菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中點.

　　（Ⅰ）證明：AE⊥PD；

　　（Ⅱ）若PA=AD，求二面角E-AF-C的餘弦值.

　　2.如圖4，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是正方形， PA⊥面ABCD，點M是CD的中點，點N是PB的中點,連接AM,AN,MN.

　　(1) 求证：MN∥面PAD；

　　（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的餘弦值.

　　 3.題1中，若H爲PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值爲62，求二面角的餘弦值.

　　 設計意圖：先在給定幾何體中證明平行或垂直與計算，過渡到在有待定未知量的幾何體中證明平行或垂直與計算，由淺入深，符合學生的認知規律，也提示學生問題的轉化思路。

　　（二）小組展示

　　展示要求：第一、二、三三個小組分别展示第1、2、3題，要求用紅筆標出本題解决

　　問題的關鍵點；在小組展示的同時，其餘小組安排小組討論，内容：各題解决的困難和關鍵是什麽。

　　（三）結合小組的展示和小結進行點評、提昇

　　用導圖小結“解有待定未知量的問題”的方向、步驟（運用AGO、聚焦思維工具）

　　參考提示（圖2）：

　　圖2“解有待定未知量的問題”解法小結

　　（四）組内合作，各抒己見（思維工具：APC、FIP）

　　結合做過的題，每組兩個同學找出一個類型題，找出困惑點和關鍵點，對照思路重做關鍵步驟並互相交流。

　　（五）當堂練習，舉一反三

　　練習題1.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長爲2的正方形,PD⊥底面ABCD,E、F分别爲稜BC、AD的中點.

　　(1)求证:DE∥平面PFB；(2)已知二面角P-BF-C的餘弦值爲66,求四棱錐P-ABCD的體積.

　　練習題2.2013年廣州一模理科18題

　　如圖4，在三稜柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長爲2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中點.（1）求证：CE∥A1BD平面；

　　（2）若H爲A1B上的動點，當CH與平面A1AB所成最大角的正切值爲152時，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（鋭角）的餘弦值.

　　（六）導圖總結（圖3）

　　圖3“解有待定未知量的問題”解法完善

　　（七）課外延伸與拓展

　　任務：每個小組找一個常規幾何體的題，改變它的條件，使得幾何體中有待定的未知量，并且寫出證明與計算過程，下節課前黑板上展示分享小組的成果。

　　設計意圖：突出挑戰思維的訓練，同時培養學生的自信

　　參考原題（給定量的幾何體）：

　　 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中點．若PA=AD=3，CD=6．

　　（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

　　（Ⅱ） 求點F到平面PCE的距離；

　　（Ⅲ）求直綫FC平面PCE所成角的正弦值．

　　  變題（要先待定底面矩形的一邊AB的長）：

　　如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中點．若PA=AD=3，直綫FC平面PCE所成角的正弦值爲2114

　　（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

　　（Ⅱ） 求點F到平面PCE的距離。

　　【教學後記】

　　立體幾何中的證明與計算對學生的思維能力要求很高。如何培養學生的思維能力，如何落實立體幾何教學，都是擺在每一個數學教師面前的重點和難點。尤其是，立體幾何作爲高考解答題前三大題之一，學生的目標拿分題，但是我們比較近幾年的高考題可以發現，現在的考題更靈活了，而且還逐漸的加入一些待定的量，加大難度，提高區分度。突破這一點，對學生是一個挑戰。

　　在教學中，筆者先由淺入深，結合OPV、FIP等思維工具綜合訓練學科思維能力，從實際授課看，在解决有待定未知量的問題中取得了一定的突破。