撰稿：黄明威

　　在目前的數學高考題中，總會有一些題目學生平時是没有遇到過的，也總有一些題目學生感覺很熟但又做不好的，我們平時的教學過程中也會發現我們的學生一遇到這樣的題目基本是束手無策了，思維工具能比較好的提昇學生解决此類問題的能力，從而提高學生解决難題的信心。下面舉出在教學過程中的一個實例進行分析：

　　在選修1-1第99頁B組的題目（4個小題）要求是：利用函數的單調性，證明下列不等式，並通過函數圖像直觀驗证，其中第（3）小題是ex>1+x，x≠0本人在教學過程中進行了一點處理：把題目改成：當x>0時，比較ex與1+x的大小；課堂設計是先讓學生進行獨立的思考，本人一邊巡視一邊觀察學生的做法；在本人的時間限度内發現很多學生都没有頭緒，有的好像開始要放棄了，本人馬上做一個引導，請學生嘗試利用思維工具去分析。

　　一、立足於基礎知識、基本理論，利用思維工具CAF（考慮所有因素）進行思考，尋找解題思路和解題方向。

　　1.首先考慮的是題型。顯然這是比較大小的題型，考慮之前學過的所有解法：主要分直接法和間接法。其中直接法裏常用的是放縮法，文科數學裏利用不等式的比較多，理科數學就要求高一些，例如，比較x2+1與2x的大小就直接可以利用基本不等式可解决x2+1≥2x1=2x即當且僅當x=1時等號成立；又如比較x2+1與2x-1的大小就可以由x2+1≥x1=2x>2x-1得x2+1>2x-1；間接法裏常用的是作差法、作商法、利用函數的單調性等，作差法一般是作差後能通過整理比較快就可以判斷符號，從而能比較原來兩個數或式的大小，例如，比較x2-2x與-1的大小就可以先由x2-2x-(-1)即x2-2x+1得(x-1)2≥0，從而有x2-2x-(-1)≥0得x2-2x≥-1；作商法一般是先作商再把商和1比較大小從而得出原來兩個數或式的大小；利用函數的單調性，在没有學導數前主要是兩種情况：一是直接用單調性可以得到結果，例，比較203與的1-01大小，由於底數2>1，且03>-01，故有203>2-01；二是通過中間量來比較大小，例如，比較203與ln03的大小，因203>0，ln03<ln1=0，故203>ln03；又如，比較203與ln03的大小，因，且，故203>0，又03<0，2>0，故032<030=1，所以有203>032；這其實也就是學生的能否找到思路的一些背景知識和方法同時也凸現基礎知識基本方法的重要性了。

　　2.考慮跟ex和1+x相關的一些知識。很多學生馬上就可以發現我們在學函數的時候經常遇到的一些函數，即y=ex、y=1+x，這樣部分學生馬上把這兩個函數的簡圖作出來然後取x>0部分，比較明顯的看到有ex>1+x，這種做法是解選擇題和填空題好方法，作爲解答題就需要嚴謹的過程，那必須轉化成另外一些形式了，我們從函數的簡圖已經知道ex>1+x，也就是説ex-(1-x)>0，從而可以搆造出一個新的函數f(x)=ex-(1+x),x>0，那麽只要求出函數f(x)的最小值是大於0即可；或者搆造出另一個新的函數g(x)=ex1+x,x>0，只要得出ex1+x>1即可，也就是説只要求出函數g(x)的最小值是大於1即可。也可以有其它的想法。

　　二、利用思維工具FIP（優先考慮的因素）進行篩選、優化解題方案

　　通過以上的思維分析，直接法是非常難解得出來的，間接法裏有幾種解法就出來了，

　　  方法一：把兩個式子作差看成是一個函數，再求此函數的最值（若f(x)=ex-(1+x)，x>0，則求函數f(x)的最小值；若f(x)=(1+x)-ex,x>0，則求函數f(x)的最大值）

　　 令f(x)=ex-(1+x),x>0，則f'(x)=ex-1,(x>0)

　　  ∵e>1，x>0，∴ex>e0=1,故有f'(x)=ex-1>0

　　 ∴f(x)在(0,+∞)上遞增

　　∴f(x)>f(0)=e0-(1+0)=1-1=0

　　∴ex-(1+x)>0,(x>0)

　　∴ex>1+x,(x>0)

　　方法二：把兩個式子作商看成是一個函數，再求此函數的最值

　　令g(x)=ex1+x,x>0，則g'(x)=xex(1+x)2,x>0

　　∴g'(x)>0

　　∴g(x)在(0,+∞)上遞增

　　∴g(x)>g(0)=e01+0=1即ex1+x>1

　　∵x>0，故1+x>0

　　∴ex>1+x,x>0

　　對比上述兩種方法，就運算復雜程度和易錯程度來看，法一比法二要好些，一方面是作商的時候不等號易出錯，另一方面對新搆造的函數進行求導，除法相對易錯，另外，若把條件x>0改成x≠0，法二還要分類討論。

　　三、用思維工具與思維導圖總結。

　　通過運用思維工具CAF、APC、FIP等工具來分析此題，不少學生對陌生題目的恐懼感就能有所减少。