皮亞杰兒童心理學的價值，主要體現在兒童心理發展的階段性劃分上。兒童獲得最初的知識結構以後，通過反復驗证，反復修改而臻於完善。在這個過程中，長輩的教導和來自社會的干預經常發生。絶大多數學前兒童建立認知模式，都是在長輩影響下實現的。即使兒童所接受的早期教育存在差异，他們認知結構演化的各個階段一般不能跨越，智力發展的階段性不會改變。和人類創造的科學知識一樣，兒童所建立的思維模式，只是與客觀世界之間的同構映射，也就是客觀世界的演變與孩子們頭腦中的邏輯運演之間存在着一致性。兒童智力的發展，表現爲思維運演方式向着越來越靈活，越來越完善的方向前進。在研究認識過程的時候，既要把兒童的思維模式的形成和所接受社會文化影響聯繫起來，又要把兒童通過接受教育發展智力的情况和整個人類認識客觀世界，創建知識系統的過程區分開來，才能得到可靠的結論。

　　人的智能取决於對世界的認識水平。個人的知識有三方面的來源，首先是從社會文化獲得的信息；其次是個體經驗的理論概括；最後是個體在已有的知識體系基礎上進行邏輯運演，得出的新命題。後一過程可以使知識更加條理化，讓其中不够明顯的部分顯現出來。對我們每個人來説，大多數知識都不是從親自體驗和獨立創造的途徑得來的，而是通過接受教育的途徑獲取的。就是説，對社會文化的繼承是個體知識的主要來源。

　　社會發展到今天，幾乎每一個人都必須進學校讀書，我們的青少年時代都是在學校中度過的，都是在校園中成長的。我們所獲取的各種知識，所掌握的思想方法，都是在學校教育的幫助和制約下形成的。一方面由於兒童接受能力具有階段性特徵，每個人都無法跨越較低的思維發展階段，躍遷到較高級階段上去。另一方面是學校教育是一種有組織的活動，其教學内容不能不照顧大多數學生的接受性。同時，現代科學知識是具有邏輯結構的嚴密體系，没有對基本知識的理解，就無法接受高級形式化知識的内容。因此，學校教育必定具有嚴格的階段性。布魯納認爲只要教學方法得當，可以對兒童傳授任何形式的思維方式。而皮亞杰則堅持兒童智力發展具有嚴格的階段性。從下面的分析中可以看出，皮亞杰反對布魯納的説法是站得住脚的。而且，把握學生思維能力發展的階段性特點，對於制定正確有效的教學方法具有决定的作用。

　　以下主要討論的是在校學生思維能力發展的階段性特徵。

　　小學低年級學生上數學課，最先接觸到的是自然數的加、减法。面對一道應用題，首先閃過小學生腦海的問題是“用加法還是减法？”。這種思維習慣的形成也許和老師經常向小學生們提出類似問題有關，而小學生總喜歡争先恐後地集體回答。如果全班同學回答正確，老師會流露出滿意的微笑。如果大多數人答錯了，老師就會反問一句：“真的是用减法嗎？”這時總有那麽幾個機靈鬼會搶先喊叫：“加法！”無論小學生們是不是經過認真思考後得到了自己滿意的結果，在老師的誘導下，他們最終總能掌握這種抽象推理的模式：知道部分的數量求整體數量時用加法，比多比少用减法。這種推理判斷不僅抽去了數鉛筆還是分蘋果的實際内容，也不必關心數量的具體多少。怎樣計算才能得出正確結果，是具有抽象意昧的一般形式。掌握了這種思維形式，只要問題一經提出，就可以不顧及問題所研究的内容，迅速將問題納入已經掌握的邏輯體系，應用體系特有的規則進行推斷，這就是小學生的最初的抽象思維。

　　小學生不僅對於抽象思維感興趣，對其他活動同樣具有濃厚的興趣。他們喜歡唱歌、喜歡跳舞、喜歡繪畫、喜歡聽講故事、喜歡做遊戲。在這些活動中，他們獲得快樂和成功的體驗，樹立成就感和成材的意識，同時養形成獨立思考和與人合作的習慣。文革前，每個學校都流行着僅屬於孩子們的傳統活動，如捉迷藏、跳繩、踢毽子、跳橡筋繩、滚鐵環、抽陀螺等等。現在有了電動玩具，電腦遊戲。原來的兒童遊戲丢失不少，可是活動的内容依然很豐富，而且更具有科技含量。孩子們在遊戲中不但能够獲得樂趣，還可以養成互相合作，喫苦耐勞的精神，培養競争意識。在一些競技活動中，還可以把課堂上學到的知識付諸應用，使知識得到鞏固。

　　高年級的數學應用題，必須經過若干步驟才能完成。有經驗的老師往往會反復展示自己尋求解題方法的思維過程。解决這類題目大致有兩種不同的思路：其一是由已知到未知的綜合法。用這種方法推斷的思路是首先考慮從題目給出的已知條件出發，能够求得哪些量？求出這些量後又能求得哪些量？通過不斷設問和解答設問，直到所能求出的量，正好是題目要求計算的量，然後再按與分析思路相同的順序將具體運算寫出來。其二是由未知到已知的分析（逆推）法。用這種方法推斷的思路與綜合法恰好相反，最初的設問是：要求出題設求解量，需要先求出哪些量？而要求得這些量，又應該事先求出哪些量？不斷地設問和解答設問，直到需要事先知道的量就是題目給出的已知量，然後再按照與思考時相反的順序，把計算過程書寫出來。

　　在老師的指導下，學生總是自覺或不自覺地使用上面所説的那兩種互逆的推理方法，在已知和未知之間架設橋樑。有時也免不了雙管齊下，兩種方法同時采用，以便讓思路更爲通暢。到了這個時候，雖然解題的每一步計算仍然離不開“加、减、乘、除”，但是，思考的重點已經發生了轉移。究竟用什麽方法進行計算的問題已經降到次要地位，可計算性判斷更爲關鍵。於是，初級階段的思維形式——加法還是减法的思考——已經變成在高級階段形式統帥下的内容，不屬於重點思考的對象了。學生所關心的重點是：已知哪些量，可以計算出哪些量，也就是可解性判斷。成了需要形式化的法則。至於具體的計算，一般都在書寫答案階段再予以關注和確定。

　　必須注意學齡兒童在接受正規教育前，對某些事物已經具有自己的理解方式，形成了“先入爲主”的知識結構，這就是他們正規學習之前的知識背景。可以説，孩子們的心不是一張白紙，學校教育針對一群對學習内容具有不同理解方式的兒童進行。比方説，他們都懂得没裝東西的瓶子叫做空瓶子。雖然可能聽説過空氣的存在，可是，我們所談論的“空瓶子”，並非瓶中没有空氣。關於這一點，孩子們頭腦中的印象是模糊的，大多數小學生對空瓶子裏邊能不能再裝東西不能正確回答。我讀小學時，自然課老師給我們做了一個實驗：在瓶口上塞一個塞子，塞子上插一個漏鬥，再往漏鬥裏邊加水，水是不會流進瓶中去的。實驗給我們的印象是，空瓶子裏頭充滿了空氣，空氣佔據了空間。這個實驗對於知道空瓶子中有空氣的孩子來説，可以進一步懂得空氣佔據空間的道理。對於還没有空氣觀念的孩子則可以糾正其對“空瓶子”的狹隘理解。如果在進行教學之前，不了解學生對於所學知識已經具有怎樣的印象，我們的教學將失去某種針對性。

　　我詢問過部分小學生，調查過他們對光的理解方式。除極個别人知道光速而外，大多數小學生都只注意到光照在教室裏頭；光可以照在墻上；太陽光芒萬丈；晚上教空裏没有光。經提示性詢問，他們會説陽光從窗户中射進來。他們的知識多半是來自於長輩的教導，有的來自語文教材和人們的習慣用語。所有孩子都很難把光和在空中高速飛動的粒子或者類似水波那樣的過程聯繫起來。對於人能看見物體的解釋更是五花八門。大多數人説，物體是亮的我們就看見了，個别人説是眼光照見了物體。很多人只知道是用眼睛看見物體的，很少有人想到經物體發出或者反射的光進入我們的眼睛，並在視網膜上形成像。在談到爲什麽能把“液拉罐”中的飲料吸起來時，大多數孩子會認爲這是一個奇怪的問題。回答説：就是能吸起來嘛。

　　突破孩子們的糊涂觀念並不容易。其實，他們在應用“空瓶子”、“眼光”、“吮吸”這些詞彚的時候，已經預設了相關事物的理解方式。而語言本身的缺陷，往往會給孩子們造成混淆。比如，我們的習慣性用語“不計前嫌，要向前看”中，兩個“前”字所表達的時間先後順序正好是相反的。而“中國隊戰勝了美國隊”和“中國隊戰敗了美國隊”兩句話中的“勝”與“敗”，却表達了同一個意思。在孩子的心中，互相衝突的觀念可以長期并存，在解釋某些事物時采用一種理解，解釋另一些事物時采用另一種理解，這當然没有錯。但是，概念的混淆可能影響理解方式的推廣應用。我們的教材都采用正面陳述方式，不可能針對孩子們形成的各種模糊觀念一一辨析，需要教師在授課之前對孩子們的糊涂觀念有所瞭解，在適當時候以適當的方式予以辨析和糾正，讓他們明白地知道在什麽情况下采用哪一種理解方式。

　　孩子進入初中一年級，學會了用方程解應用題。他們的邏輯思維方式會在這個時候發生一次重大的轉變。因爲用方程求解的大多數問題，很難用“綜合法”或“分析法”開闢從已知到未知的通道。規劃分步計算方案，或者直接寫出由已知量計算未知量的綜合算式的嘗試，也不容易獲得能成功。而在列方程解决實際問題的時候，可以把題目求解的未知量當已知量，首先找到用這個未知量和題設已知量計算有關量的表達式，然後再將題中的某種等量關係翻譯成等式，得出方程。最後再按方程特有的運算規則進行演算。對於初中一年級學生來説，這種方法奇特而又新穎。掌握了這種方法的人，會感到昔日那些讓自己絞盡腦汁的復雜應用題，一下子變得很簡單。

　　仔細研究會發現，通過列方程解應用題，並没有完全離開綜合法與分析法的推理方式，也會經常遇到可計算性判斷。但是，到了這個階段，相對於列方程和解方程來説，這些思考成了更爲基礎的問題。學生們更關心的是如何得到含有未知量的等式，如何從等式中把未知量求解出來。和前面所説的情况一樣，在研究用方程求解應用題時，具體的計算方法是算術問題形式化中的形式，現在却成了代數問題形式化的内容。怎樣獲得方程，以及怎樣從方程中將未知量求解出來的形式化方法，才是需要解决的重點。

　　多項式的乘法和分解因式是互逆的運算，却具有不同的解題思路。乘法運算可以規定嚴格的步驟。分解因式的題型很多，一般需要根據經驗猜出一種做法，如果往後的計算能够順利得出結果，這個猜想才是有效的。這就需要培養學生對猜想的統攝力和進行選擇的本領。這和微積分的運算一樣，求導數有基本法則可尋，即使記不得導數公式，用極限運算也能成功。積分運算却不一樣，有些題目只有一種獨特的方法有效。在解題的時候務必多看幾步，所采用的基礎運算對於後繼積分運算有效，才是可取的。

　　每一個形式化學習階段，都意味着更高級的抽象思維能力形成，先前的形式化方法，會變成進一步形式化的内容，而退居次要地位。新的形式化方法具有更加抽象的特點，也具有更加廣泛的應用。所以皮亞杰説，形式化方法本身具有層次性的結構，不可能隨意超越，是有根據的。

　　開始學習平面幾何的時候，學生往往會感到束手無策。有人認爲越是具體事物，越形象就越簡單，越抽象的事物越不容易掌握。其實不然。平面幾何説起來形象直觀，却並不簡單。幾何研究的對象是圖形的通性，代數偏重於計算，幾何偏重於推理證明，證明的内容往往是同類而不同一的對象的性質。尋求證明方法没有統一的思路，很難確定統一的程序化操作方法。一開始，學生甚至不知道題目究竟要求自己做什麽，很不習慣。經過一段時間的努力，大多數學生開始領悟證明的思維形式。其實相當多的題目仍然需要應用“綜合”與“分析”的思路，在“已知”與“求证”之間架設橋樑。有的老師欣賞通過測量，引入三角形内角和是180度的結論；也喜歡通過數值運算來印证一下勾股定理的正確性。在講解相關内容之前如此這般地演示一遍。“玩一玩”也許是可以的，但是，却不能代替證明，更不能作爲主要教學内容。因爲學習幾何的目的在於讓學生理解命題之間的演繹關係，掌握命題的證明方法。歐幾裏德幾何出發點是幾條簡單公理，凡是經過嚴密證明的結論都與客觀世界中的事實相符。在平面幾何教學過程中，學生可以體會到一種和諧的美和邏輯的力量，産生對抽象思維的信任，對科學的信任，初步懂得構建知識體系的一般要求。過多的演示不僅不能奏效，往往還會造成誤導，以爲數值運算真的能代替邏輯推理。

　　不過，我們還應該注意到，學生的抽象思維能力在反復訓練中得到加强的同時，會形成對邏輯推理某種依賴。表現爲對經過證明的結論更容易記住，應用起來更爲得心應手，而對缺乏邏輯聯繫的散亂信息記憶能力的發展却比較遲緩。我們讓學生掌握的知識，不可能全都通過嚴密的邏輯推证。在向中學生傳授知識的時候，不得不經常采用缺乏嚴密性的推理方式進行。一部份知識的傳授只是需要給他們編制一個記憶的方法，比如對於初中教材中的化合價，金屬、非金屬化學活動性順序，大多時候都是通過反復誦讀口訣的方式記憶的。

　　一開始，學生很難把握决定電磁振盪週期大小的各種因素之間的關係，老是混淆週期和頻率公式。我分析説：如果振盪回路中的電容器容量大，每次充放電的電量多，充放電時間會延長；如果綫圈自感量大，對電流的阻礙作用强，電流變化慢，對電容充電也緩慢，兩種作用都使週期延長。所以振盪週期與電容量和綫圈自感係數成增函數關係。以上説明雖然無法代替振盪週期公式的推導，却給出了一個具有抽象意味的推理，用他們習以爲常的邏輯，把兩個表面上看似無關的因素聯繫起來，爲學生提供了一種理解記憶的方法，很有效。

　　在采用模糊推理幫助學生記憶的時候，應盡量防止引入錯誤思路，避免留下“後遺症”。比如在解釋火箭飛行的時候，形象地説成是火箭向下噴射的氣流作用於地面，地面的反作用力迫使火箭加速上昇，好像比較直觀，具有反作用力觀念的學生容易接受。而在解釋火箭會在大氣層中加速時，也可以勉强説成是受到空氣反作用力作用的緣故。但是，當問到火箭在星際太空中如何加速時，就没法予以闡明瞭。所以，不要爲了遷就學生的接受性，對事理做過於簡單甚至歪曲的解釋，否則總有一天會遇到不可克服的矛盾。

　　我們所掌握的科學理論都是忽略了某些次要因素後的簡化模型。在編撰難題的時候，往往將這種方法到處濫用。而在某些的場合，被忽略的恰恰是主要因素，造成理論上的錯誤。06年某地“診斷性”物理考試的一道題，設帶電粒子在有界匀强電場中加速，然後在電場外的磁場中沿曲綫運動到高電位，問經幾次加速後可以達到多高的速度。這種明顯違反能量守衡原則的問題顯然是由有界電場的假設引起的。雖然這種題目對考察學生的演繹能力的確有效，在命題考試中經常采用，給學生造成的誤導却很嚴重。

　　中學生創新意識發展遲緩的深層次原因是我們目前的學校教育以傳授知識爲主，我們教給學生的知識，都是在承認前人所創造的知識體系没有缺陷的前提下演繹出來的。如果在上面提到的那次診斷性考試中，有考生對題目提出了質疑，閲卷的老師會不會給滿分？如果給了滿分，没有提出質疑的試卷又該怎樣評分？其實，我們在教學中，總是有意無意地打擊對現有知識的懷疑態度，遏制學生創新意識的形成。事實上，通過講課，布置作業，組織考試，我們總是敦促學生確認現有知識的可靠性，任何對知識的懷疑態度都將受到懲罰。然而任何知識都有局限性，都只在一定範圍内有效。因此，在講授自然科學定律的時候，有必要介紹科學史的相關内容，幫助學生樹立科學的知識發展觀，讓學生學會用懷疑的眼光看待前人的創造成果。

　　高中生的邏輯推理能力飛速演進，是和高中階段的數學教學内容相一致的。他們一開始就學習了極具抽象性質的集合論和函數論。盡管高中數學中“兩論”知識還很膚淺，但是，已經足以讓學生思維方式産生一次不小的飛躍。一開始，面對含有兩個未知數的等式y＝f(x)，很多學生總把她當作方程，因爲没有確定的解而不知所措。其實，正是解的不確定性，造成了從整體上把握兩個集合之間映射關係的可能。在這裏解方程的方法，已經成了進一步形式化的内容，而函數的對應法則是更加抽象的形式。如果在介紹具體函數性質之前給學生講明函數的思想方法，使他們明白研究函數的目的已經不是計算確切數值解，而是建立和研究兩個集合之間的對應關係，對於他們轉變思維方式，順利進入新的學習階段，必定會有很大的幫助。

　　在學習數列和數學歸納法之後，學生們接觸到了由個别到一般的歸納思想。可以説在此之前，他們的思維基本上是沿着從一般到特殊的方向，按照以“公理、定理”爲大前提，題設條件爲小前提，從中推出結論的三段論式進行的。繼平面幾何中涉及到命題的搆成，在立體幾何和解析幾何中又學到了命題之間的等價性、充分性和必要性的邏輯關係。這些知識和方法會使學生的理解能力，推理能力和想象力大大增强。

　　由於傳統教育只重視知識的傳授，在一般情况下，學生不會注意研究自己的思維過程，缺乏從解題過程中概括出法則和思路的强烈願望。做完一道習題，你問他是如何想到要這樣做的，他會覺得這個問題很奇怪，所答非所問地説：就是這樣做的嘛。很可能這就是大多數人在做練習的過程中，事倍功半的重要原因。我在教學的過程中向學生提出題後“三思”的要求，引導學生成功做好一道題目之後想一想這個題目屬於什麽類型；自己通過怎樣的思維途徑獲得解題方法，尋找解題方法的關鍵性突破是什麽；從這個題目中是否可以提取出帶普遍意義的結論，在相應條件下推廣應用。

　　以上是對中小學生，在學校教育引導下，思維方式發展過程的扼要分析，着重闡述了邏輯思維能力的形成。很顯然，學生思維能力的形成過程與教學内容是緊密聯繫在一起，和教師采用的教學方法有直接的關係。人的思維形式不限於邏輯思維，還存在着形象思維和非邏輯的抽象思維。我這裏説的非邏輯抽象思維，是介於邏輯思維和想象之間的模糊推理形式。在學校裏，學生不僅需要發展抽象思維，也需要發展猜想和模糊推理能力。由於任何階段邏輯思維能力的形成，都必須以較低級的思維形式爲基礎，所以，青少年智力發展會表現出階段性特徵。而基於想象力的形象思維和模糊推理却可以超越某些階段。