教學設計：周德均

　　【版本信息】

　　適合高三第一輪復習，版本爲人民教育出版社A版。

　　【版本信息】

　　教材背景：

　　學生已經復習了橢圓的定義，標準方程，幾何性質，本節課屬於定義，幾何性質，三角形面積公式等綜合運用。

　　學習目標：

　　1.知識與技能：熟悉橢圓定義，幾何性質，熟練運用三角形面積公式；提高運算求解能力，推理論证能力，培養創新意識。

　　2.過程與方法：以小組合作式探究學習爲課堂模式，通過運用思維工具和導圖，突破重難點。

　　3.情感態度價值觀：培養學生的合作意識、創新意識、開闊的數學視野、科學的數學意識。

　　授課形式：

　　1.以講學案爲載體； 2.以小組合作式探究學習爲課堂模式； 3.以思維工具爲能力提昇的方法； 4.以思維導圖爲總結反思。

　　講學案設計

　　一、章節標題，標注信息：橢圓的定義、標準方程、幾何性質

　　二、目標導學，明確要求:利用橢圓的定義和幾何性質，解决橢圓内與焦點有關的三角形面積的相關問題。

　　三、課前預習，發現問題：

　　聚焦範圍：與焦點有關的三角形；

　　聚焦問題：常用的三角形的面積的計算公式：

　　公式一：公式二：

　　橢圓内三角形面積問題的初步探求：

　　1.若橢圓方程爲：x216+y212=1，A1,A2是橢圓的左右頂點，B1,B2 是橢圓的上下頂點，F1,F2是橢圓的左右兩個焦點。求：

　　（1）△F1OB1的面積;（2）△A2B1B2的面積

　　2.若橢圓方程爲：x24+y2=1，F1,F2是其左右兩個焦點，P是橢圓上一點，

　　（1） 若P的横坐標爲1，求△F1PF2的面積；

　　（2） 若△F1PF2的面積爲32，求P點的坐標。

　　問題小結：

　　3.若橢圓方程爲：x216+y24=1，F1，F2是其左右兩個焦點，P是橢圓上一點，

　　（1）]PF1=2，求△F1PF2的面積；（2）∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面積。

　　問題小結：

　　四、其他可能問題：

　　上面我們已經探求的問題幾乎都是和△F1PF2有關的，發揮自己的想象力，思考對於橢圓内與焦點有關的三角形的面積問題還有没有其他的考察方式？請你來做出題者，可以是直接求面積，也可以是已知面積而求其他問題。要求：1.可操作；2.盡量有新意。

　　每位同學出一個或兩個題，寫在下面的空格中。自己知道解答過程的寫出過程，不知道的也可徵求他人的觀點。

　　五、 老師的其他觀點：  

　　六、導圖總結： 

　　講學案的設計，是在本校對學案要求的基礎上做了微小改進，力求簡單，典型，同時覆蓋高中數學對橢圓幾何性質，解三角形等知識點的要求，并且具有一定的開放性，放飛學生的思維。之所以設計爲與焦點有關的三角形面積問題而没有放得更寬，主要還是考慮到幾何性質的運用。

　　另外，設計過程也滲透了以下幾個思維工具：1.聚焦：範圍聚焦和問題聚焦；2.逆轉：條件和結論的位置調换；3.其他的可能（APC）：自己考慮本問題的其他可能考察方式；4.他人的觀點（OPV）：小組合作時對某一問題的不同做法的討論，以及點評時考慮有没有其他做法。5.祛除：尋找展示解答的缺陷並提出改進意見；6.優缺點與興趣點（PMI）：不同解題思路優缺點，如何適當選擇。

　　附圖1：教學設計導圖：

　　圖1教學搆思

　　教學過程實録

　　按照所在學校對課堂教學的整體規劃，筆者所任教的班級的課前預習一般都是按照下面的模式進行：學生是在上課的前一天的晚修完成預習任務，本節課是講學案中的三、四兩部分内容。老師課前批改部分或者全部同學的作業情况（本節課是全部），對學生的問題和想法有了一定的瞭解。數學課代表在課前隨機或有針對性的安排好展示的學生名單和内容，一般一題安排兩位同學展示從而有比較性。内容不管對錯，只要和自己原始作業一樣就可以，展示可以在課間休息時進行，也可以正式上課後進行（本節課是利用課間）。

　　上課開始，老師首先對本節課的目標做一個簡單解讀：利用橢圓的定義和幾何性質，解决橢圓内與焦點有關的三角形面積的相關問題。引領學生聚焦範圍和問題：與焦點有關的三角形、面積問題，把公式在黑板上書寫。然後以投影的方式在屏幕上對昨晚的預習情况進行反饋，包括了表現優秀的組名和個人，進行表揚；同時包括出問題較多的題號和原因。之後安排兩位同學對2,3兩題做點評（第一題比較簡單，只讓同學對照答案），給兩分鐘點評準備，其他同學糾錯或總結或看展示同學的做法。

　　點評的同學平時就有要求：1.過程是否規範；2.結論是否正確；3.有没有其他做法；4.思想方法和易錯小結。

　　點評開始，第二題的點評中點評者發現了有一位同學的第二問結果只有兩個點這一錯誤，并且找到了錯誤的原因：設P點坐標爲(x0,y0)，展示同學在表達面積的公式中寫爲了S△F1PF2=12·2c·yo，其中y0可能是負數。補救方法是對y0加個絶對值，并且對該題進行了小結：△F1PF2的面積公式，P點坐標和△F1PF2的面積可以互相求解。該生點評很精彩，老師大力表揚。

　　第二位點評的同學在點評第三題的時候，發現兩位同學在第二問的處理時都是利用了定義和勾股定理解出了PF1和PF2的長度，然後再計算面積，他給出了自己的一種方法：利用定義]PF1+]PF2=2a=8,兩邊平方，利用勾股定理，得到]PF1·]PF2的結果，然後再計算面積，簡化了計算難度。方法很好，老師同樣大力表揚。不過在小結時點評同學没有説明數學方法，老師給予補充：整體代换的數學思想。并且提示在角度是其他特殊角時，這個方法更彰顯優勢。

　　點評結束，老師對展示和點評所在組給出相應加分（注：每組在課前已有基礎分數，就是昨晚作業的完成情况的打分）。再給出2分鐘時間讓同學用思維導圖總結，請一位同學把導圖畫到指定位置。到此，用時大概15分鐘。

　　導圖小結完畢，老師安排小組内討論交流：小組内交流昨晚每一個同學想到的其他考查方式，討論不同的解題思路，並選出一或兩個自己小組認爲的最佳變式考查，同時安排4個小組把本小組的變式考查題目展示到小黑板上讓同學們分享（時間5分鐘）。學案中其實有所提示：已經探求的問題幾乎都是和△F1PF2有關的，學生就可以不局限於這個三角形而進行其他考察方式的思考。

　　每組都展示了2個變式，因爲題目較多，就由教師引領全班同學分享8個題目。有的是對第三題的角度變化爲120°和45°，多數是條件、所求都變化了。這裏擇優選取了兩個計算和思路難度適當的變式供全班同學解决，如下所示：（分享和選題用時4分鐘）

　　1，橢圓方程爲x24+y2=1，2，橢圓方程爲x216+y212=1，

　　求圖中△F1PF2的面積； 求圖中△BCF2面積（BC過左焦點F1）

　　（圖一）（圖二）

　　選題完畢，老師安排任務：由於時間問題，每組指定一個題目做出完整的過程和結果，另外一題只在組内討論解題的思路和方法。同時安排4組，由本組選人把指定題目解答過程展示到小黑板上（用時8分鐘）。

　　展示完畢，由老師對兩題進行點評，第一題兩個組用到的方法相同：先把]PF1+]PF2=4兩邊平方，再利用餘弦定理消除]PF12+]PF22，得到]PF1·]PF2=4這一整體結果，再代入公式S△F1PF2=12]PF1·]PF2sin120°得到面積。整個過程利用了橢圓定義，餘弦定理，三角形面積公式以及整體代换的思想。接着老師提問有没有其他做法？其中有個小組的同學給出了另外一種解法：記橢圓的上下頂點分别爲B1,B2，因爲a=2b，所以∠OB1F1恰爲60°，所以∠F2B1F1爲120°，因此P點就爲B1或B2，所以面積更好解决。這一做法非常巧妙，説明該組對數據和角度非常敏感，老師大力表揚，但同時説明這一方法的特殊性。

　　第二題展示的兩組用到兩種不同方法：都首先寫出了直綫BC的方程。其中一組是解方程組y=3(x+2)x216+y212=1得到B,C的坐標，再計算BC長度，再計算點F2到直綫y=3(x+2)的距離，然後代公式得到面積；另外一組的同學是把直綫方程中的x代入橢圓方程，得到關於y的一元二次方程，解出y1,y2的值，再把原三角形分成上下兩個三角形求解。讓同學們自己優選方法，哪個做法更加簡單，當然，同學們選擇了第二種做法。這裏再次强調了計算面積時，要把縱坐標y加絶對值，與前面提到的呼應。同樣，點評完畢後，對展示和回答問題的的小組給出相應加數。（用時8分鐘）

　　老師點評結束，本來有安排老師的其他觀點這一過程，但時間問題省略（本校每節課40分鐘）。接着老師安排每位同學對本節課的内容以思維導圖的形式進行一個總結，也就是把預習點評後的思維導圖進行一個完善，同時請開始畫導圖的那位同學到指定位置完善剛才的導圖。老師再做適當小結，本節課結束。

　　附圖2：課堂實録導圖

　　圖2教學流程

　　【教學後記】

　　1.學生點評有的喜歡談細節和自己的想法，而不注重糾錯和方法的點評；

　　2.時間控制應該更加細化，緊凑；

　　3.學生作思維導圖的能力應該進一步培養；

　　4.内容稍顯單調，不過對於文科生，也算適合。