撰稿：周德均

　　衆所周知，2011年廣東高考的文科數學題範圍廣，難度深，但却很好的把握了考試大綱的要求，體現了新課改對高中學生知識能力培養的目標和方向，是一份很好的爲高校選拔人才的試題。其中，後三道大題更是這份試卷的精髓，也是難中之重，成爲不少考生難以攀登的“珠穆朗瑪峰”。

　　本文的目的，是嘗試利用思維工具中的部分方法，對19和21兩道試題進行分析，體會利用思維工具提高學生的數學能力。在分析過程中，本人力求模擬學生的思維過程的現場，在適當的環節給出利用某些思維工具的建議，找到解决問題的突破口，讓考生能够：拿到分，多拿分，拿滿分。另外需要説明的是，本文並不願意做“事後諸葛亮”，而是希望文中提到的工具需要在平時的學習中不斷訓練，滲透，内化爲一種習慣，那麽在真正的考場學生才能運用得得心應手。

　　第19題. 設a>0,討論函數f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調性。

　　本題的題意簡單明瞭，就一個目標：函數的單調性，這個内容在高中數學中非常重要并且在考試中也非常常見的。聚焦函數的單調性問題，學生很容易想到解决問題的數學工具：利用導函數的正負號分析原函數的單調性，於是，考生就很容易就馬上對函數進行求導分析。

　　這裏就容易産生一個丢分點：函數的定義域。凡是函數問題，我們有一個優先考慮的原則（FIP）：定義域優先考慮，因爲定義域决定了我們研究的範圍。如果在平時我們就强調該工具的應用，考生就容易養成習慣，從而優先寫出函數的定義域：x∈R]x>0，避免丢分。

　　學生對這個函數求導後，部分考生可能又會馬上陷入慌亂之中，因爲結果是f'(x)=1x+2a(1-a)x-2(1-a)，感覺導數的形式復雜。此時，目的，方向（AGO）非常關鍵：導數的正負號决定函數的單調性。我們平時面對這樣的復雜形式的時候，我們都要對其就行化簡，祛除某些因素，去僞求真。通分應該是平時就要養成的習慣，當我們對導數通分後，發現導數f'(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x的正負號只由分子2a(1-a)x2-2(1-a)x+1來决定，因此，找準方向，聚焦新問題：函數G(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1的正負號的分佈。

　　到此，有些考生很容易會把G(x)當做二次函數去分析從而産生丢分。如果我們平時注意思維的嚴密性，習慣考慮到所有因素（CAF），我們就會對“貌似”二次函數的式子産生懷疑的態度。因爲常數a的不確定性，當a=1時，1-a爲0，從而使得G(x)變成一個常數函數G(x)=1恒爲正，從而確定單調性。這點非常重要，因爲1把a的範圍分成了兩部分：(0,1)和(1，+∞)。該兩個範圍會使得二次函數G(x)二次項係數2a(1-a)的正負發生變化，導致開口方向發生變化，從而使導數的正負號發生變化，進而影響函數的單調性。另外，二次函數的判别式△也會影響G(x)的正負號分佈。綜合這些所有因素，考生就能自然想到分類討論的數學思想方法，并且也能發現分類討論的界點所在，完成後面的問題就水到渠成了。

　　附圖1：19題思維導圖

　　　　第21題 在平面直角坐標係xOy中，直綫l:x=-2交x軸於點A，設P是l上一點，M是綫段OP的垂直平分綫上一點，且滿足∠MPO=∠AOP

　　1當點P在l上運動時，求點M的軌迹E的方程；

　　2已知T（1，-1），設H是E上動點,求]OH+]HT的最小值，並給出此時點H的坐標；

　　3過點T（1，-1）且不平行與y軸的直綫l1與軌迹E有且只有兩個不同的交點，求直綫l1的斜率k的取值範圍。

　　根據這套試卷特點，能够在考場面對最後一題還有信心的同學，本身就是具有較高數學素養的學生了。其實本題的題意還是比較好理解的。聚焦軌迹方程的求法，學生完全可以根據題目的已知，在草稿上畫出圖示，如圖。可以通過求軌迹方程的基本方法或者定義法求出M形成的軌迹方程：y2=2x+1或者是y2=2

　　這裏用基本方法的學生可能會對曲綫是什麽有疑問，因爲教材上没有出現這樣的形式。其實，如果平時在學習抛物綫的過程中，能够對抛物綫的方程有過批判性的思維：有没有不過原點的抛物綫和其方程？有的話是什麽形式？再結合圖像的平移變化，學生就能够把方程化簡到y2=2，確定出軌迹是一條開口向右，P爲1，焦點-12,0在的抛物綫。這個結論對第二問非常重要，學生就可以利用抛物綫的定義找到求出最小值的辦法。

　　但是等到第三問的時候，學生會出現一個困惑，因爲所給點T在抛物綫内部，無論怎樣畫直綫，都和抛物綫由兩個交點那麽斜率的範圍就是一切實數了。對於高考的最後一題的最後一問，往往就是壓軸題，不可能如此的隨意。這時，學生可以對已成的矛盾或者錯誤這一寶貴的資源對原有結論進行否定或者反思，尋找解决的辦法。需要考慮是否前面的解答是否出現了錯誤，曲綫的形式是否還有其他可能没有考慮到。因爲抛物綫是肯定存在的了，再結合題目中談到了“有且只有”的字眼，那麽是否還有軌迹没有發現？這樣，學生再次回到第一問進行探究，就有可能找到M點存在的另外一種情况：y=0,(x<-1)。這樣的話，學生在這個題目上就能拿到更多的分數甚至滿分。回到學生平時的學習，一定要善於利用出現的錯誤或者矛盾，往往錯誤或矛盾是最好的資源，從錯誤中進行否定，反思，調整策略，能够讓學生的思維更有深度，更加嚴密。

　　附圖2：21題思維導圖

　　如此看來，思維工具對學生的數學能力的培養是非常重要的，如果平時能够經常利用諸多工具，内化爲思維的一種習慣，會幫助學生更加容易發現問題解决的辦法，提高學生的數學素養，思維也更加靈活，嚴密。這樣，面對比較陌生或者高難度的問題的時候，才能有足够的思維韌度，解决問題。